Определить непрерывна ли функция. Классификация точек разрыва функции
Приводятся определения и формулировки основных теорем и свойств непрерывной функции одной переменной. Рассмотрены свойства непрерывной функции в точке, на отрезке, предел и непрерывность сложной функции, классификация точек разрыва. Даны определения и теоремы, связанные с обратной функцией. Изложены свойства элементарных функций.
СодержаниеМожно сформулировать понятие непрерывности в терминах приращений. Для этого мы вводим новую переменную ,
которая называется приращением переменной x
в точке .
Тогда функция непрерывна в точке ,
если
.
Введем новую функцию:
.
Ее называют приращением функции в точке .
Тогда функция непрерывна в точке ,
если
.
Определение непрерывности справа (слева)
Функция f(x) называется непрерывной справа (слева) в точке x0
, если она определена на некоторой правосторонней (левосторонней) окрестности этой точки, и если правый (левый) предел в точке x0 равен значению функции в x0:
.
Теорема об ограниченности непрерывной функции
Пусть функция f(x) непрерывна в точке x0.
Тогда существует такая окрестность U(x 0),
на которой функция ограничена.
Теорема о сохранении знака непрерывной функции
Пусть функция непрерывна в точке .
И пусть она имеет положительное (отрицательное) значение в этой точке:
.
Тогда существует такая окрестность точки ,
на которой функция имеет положительное (отрицательное) значение:
при .
Арифметические свойства непрерывных функций
Пусть функции и непрерывны в точке .
Тогда функции ,
и непрерывны в точке .
Если ,
то и функция непрерывна в точке .
Свойство непрерывности слева и справа
Функция непрерывна в точке тогда и только тогда, когда она непрерывна в справа и слева.
Доказательства свойств приводятся на странице «Свойства непрерывных в точке функций ».
Непрерывность сложной функции
Теорема о непрерывности сложной функции
Пусть функция непрерывна в точке .
И пусть функция непрерывна в точке .
Тогда сложная функция непрерывна в точке .
Предел сложной функции
Теорема о пределе непрерывной функции от функции
Пусть существует предел функции при ,
и он равен :
.
Здесь точка t0 может быть конечной или бесконечно удаленной: .
И пусть функция непрерывна в точке .
Тогда существует предел сложной функции ,
и он равен :
.
Теорема о пределе сложной функции
Пусть функция имеет предел и отображает проколотую окрестность точки на проколотую окрестность точки .
Пусть функция определена на этой окрестности и имеет на ней предел .
Здесь - конечные или бесконечно удаленные точки: .
Окрестности и соответствующие им пределы могут быть как двусторонние, так и односторонние.
Тогда существует предел сложной функции и он равен :
.
Точки разрыва
Определение точки разрыва
Пусть функция определена на некоторой проколотой окрестности точки .
Точка называется точкой разрыва функции ,
если выполняется одно из двух условий:
1) не определена в ;
2) определена в ,
но не является в этой точке.
Определение точки разрыва 1-го рода
Точка называется точкой разрыва первого рода, если является точкой разрыва и существуют конечные односторонние пределы слева и справа :
.
Определение скачка функции
Скачком Δ функции в точке называется разность пределов справа и слева
.
Определение точки устранимого разрыва
Точка называется точкой устранимого разрыва, если существует предел
,
но функция в точке или не определена, или не равна предельному значению: .
Таким образом, точка устранимого разрыва - это точка разрыва 1-го рода, в которой скачек функции равен нулю.
Определение точки разрыва 2-го рода
Точка называется точкой разрыва второго рода, если она не является точкой разрыва 1-го рода.
То есть если не существует, хотя бы одного одностороннего предела, или хотя бы один односторонний предел в точке равен бесконечности.
Свойства функций, непрерывных на отрезке
Определение функции, непрерывной на отрезке
Функция называется непрерывной на отрезке (при ), если она непрерывна во всех точках открытого интервала (при ) и в точках a
и b
,
соответственно.
Первая теорема Вейерштрасса об ограниченности непрерывной на отрезке функции
Если функция непрерывна на отрезке ,
то она ограничена на этом отрезке.
Определение достижимости максимума (минимума)
Функция достигает своего максимума (минимума) на множестве ,
если существует такой аргумент ,
для которого
для всех .
Определение достижимости верхней (нижней) грани
Функция достигает своей верхней (нижней) грани на множестве ,
если существует такой аргумент ,
для которого
.
Вторая теорема Вейерштрасса о максимуме и минимуме непрерывной функции
Непрерывная на отрезке функция достигает на нем своих верхней и нижней граней или, что тоже самое, достигает на отрезке своего максимума и минимума.
Теорема Больцано - Коши о промежуточном значении
Пусть функция непрерывна на отрезке .
И пусть C
есть произвольное число, находящееся между значениями функции на концах отрезка: и .
Тогда существует точка ,
для которой
.
Следствие 1
Пусть функция непрерывна на отрезке .
И пусть значения функции на концах отрезка имеют разные знаки: или .
Тогда существует точка ,
значение функции в которой равно нулю:
.
Следствие 2
Пусть функция непрерывна на отрезке .
И пусть .
Тогда функция принимает на отрезке все значения из и только эти значения:
при .
Обратные функции
Определение обратной функции
Пусть функция имеет область определения X
и множество значений Y
.
И пусть она обладает свойством:
для всех .
Тогда для любого элемента из множества Y
можно поставить в соответствие только один элемент множества X
,
для которого .
Такое соответствие определяет функцию, которая называется обратной функцией к .
Обратная функция обозначается так:
.
Из определения следует, что
;
для всех ;
для всех .
Лемма о взаимной монотонности прямой и обратной функций
Если функция строго возрастает (убывает) , то существует обратная функция ,
которая также строго возрастает (убывает).
Свойство о симметрии графиков прямой и обратной функций
Графики прямой и обратной функций симметричны относительно прямой .
Теорема о существовании и непрерывности обратной функции на отрезке
Пусть функция непрерывна и строго возрастает (убывает) на отрезке .
Тогда на отрезке определена и непрерывна обратная функция ,
которая строго возрастает (убывает).
Для возрастающей функции . Для убывающей - .
Теорема о существовании и непрерывности обратной функции на интервале
Пусть функция непрерывна и строго возрастает (убывает) на открытом конечном или бесконечном интервале .
Тогда на интервале определена и непрерывна обратная функция ,
которая строго возрастает (убывает).
Для возрастающей функции .
Для убывающей: .
Аналогичным образом можно сформулировать теорему о существовании и непрерывности обратной функции на полуинтервале.
Свойства и непрерывность элементарных функций
Элементарные функции и обратные к ним непрерывны на своей области определения. Далее мы приводим формулировки соответствующих теорем и даем ссылки на их доказательства.
Показательная функция
Показательная функция f(x) = a x,
с основанием a > 0
- это предел последовательности
,
где есть произвольная последовательность рациональных чисел, стремящаяся к x
:
.
Теорема. Свойства показательной функции
Показательная функция имеет следующие свойства:
(П.0) определена, при ,
для всех ;
(П.1) при a ≠ 1 имеет множество значений ;
(П.2) строго возрастает при ,
строго убывает при ,
является постоянной при ;
(П.3) ;
(П.3*) ;
(П.4) ;
(П.5) ;
(П.6) ;
(П.7) ;
(П.8) непрерывна для всех ;
(П.9) при ;
при .
Логарифм
Логарифмическая функция, или логарифм, y = log a x, с основанием a - это функция, обратная к показательной функции с основанием a .
Теорема. Свойства логарифма
Логарифмическая функция с основанием a
,
y = log a x,
имеет следующие свойства:
(Л.1) определена и непрерывна, при и ,
для положительных значений аргумента,;
(Л.2) имеет множество значений ;
(Л.3) строго возрастает при ,
строго убывает при ;
(Л.4) при ;
при ;
(Л.5) ;
(Л.6) при ;
(Л.7) при ;
(Л.8) при ;
(Л.9) при .
Экспонента и натуральный логарифм
В определениях показательной функции и логарифма фигурирует постоянная a
,
которая называется основанием степени или основанием логарифма. В математическом анализе, в подавляющем большинстве случаев, получаются более простые вычисления, если в качестве основания использовать число e
:
.
Показательную функцию с основанием e
называют экспонентой: ,
а логарифм по основанию e
- натуральным логарифмом: .
Свойства экспоненты и натурального логарифма изложены на страницах
«Экспонента, е в степени х »,
«Натуральный логарифм, функция ln x »
Степенная функция
Степенная функция с показателем степени p - это функция f(x) = x p,
значение которой в точке x
равно значению показательной функции с основанием x
в точке p
.
Кроме этого, f(0) = 0 p = 0 при p > 0.
Здесь мы рассмотрим свойства степенной функции y = x p
при неотрицательных значениях аргумента .
Для рациональных ,
при нечетных m
,
степенная функция определена и для отрицательных x
.
В этом случае, ее свойства можно получить, используя четность или нечетность.
Эти случаи подробно рассмотрены и проиллюстрированы на странице «Степенная функция, ее свойства и графики ».
Теорема. Свойства степенной функции (x ≥ 0)
Степенная функция, y = x p
,
с показателем p
имеет следующие свойства:
(С.1) определена и непрерывна на множестве
при ,
при ».
Тригонометрические функции
Теорема о непрерывности тригонометрических функций
Тригонометрические функции: синус (sin x), косинус (cos x), тангенс (tg x) и котангенс (ctg x
Теорема о непрерывности обратных тригонометрических функций
Обратные тригонометрические функции: арксинус (arcsin x), арккосинус (arccos x), арктангенс (arctg x) и арккотангенс (arcctg x), непрерывны на своих областях определения.
Использованная литература:
О.И. Бесов. Лекции по математическому анализу. Часть 1. Москва, 2004.
Л.Д. Кудрявцев. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 2003.
С.М. Никольский. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 1983.
Исследование функции на непрерывность в точке проводится по уже накатанной рутинной схеме, которая состоит в проверке трёх условий непрерывности:
Пример 1
Исследовать функцию на непрерывность. Определить характер разрывов функции, если они существуют. Выполнить чертёж.
Решение
:
1) Под прицел попадает единственная точка , в которой функция не определена.
Односторонние пределы конечны и равны.
Таким образом, в точке функция терпит устранимый разрыв.
Как выглядит график данной функции?
Хочется провести упрощение , и вроде бы получается обычная парабола. НО исходная функция не определена в точке , поэтому обязательна следующая оговорка:
Выполним чертёж:
Ответ
: функция непрерывна на всей числовой прямой кроме точки , в которой она терпит устранимый разрыв.
Функцию можно доопределить хорошим или не очень способом, но по условию этого не требуется.
Вы скажете, пример надуманный? Ничуть. Десятки раз встречалось на практике. Почти все задачи сайта родом из реальных самостоятельных и контрольных работ.
Разделаемся с любимыми модулями:
Пример 2
Исследовать функцию на непрерывность. Определить характер разрывов функции, если они существуют. Выполнить чертёж.
Решение
: почему-то студенты боятся и не любят функции с модулем, хотя ничего сложного в них нет. Таких вещей мы уже немного коснулись на уроке Геометрические преобразования графиков. Поскольку модуль неотрицателен, то он раскрывается следующим образом: , где «альфа» - некоторое выражение. В данном случае , и наша функция должна расписаться кусочным образом:
Но дроби обоих кусков предстоит сократить на . Сокращение, как и в предыдущем примере, не пройдёт без последствий. Исходная функция не определена в точке , так как знаменатель обращается в ноль. Поэтому в системе следует дополнительно указать условие , и первое неравенство сделать строгим:
Теперь об ОЧЕНЬ ПОЛЕЗНОМ приёме решения: перед чистовым оформлением задачи на черновике выгодно сделать чертёж (независимо от того, требуется он по условию или нет). Это поможет, во-первых, сразу увидеть точки непрерывности и точки разрыва, а, во-вторых, 100%-но убережёт от ошибок при нахождении односторонних пределов.
Выполним чертёж. В соответствии с нашими выкладками, слева от точки необходимо начертить фрагмент параболы (синий цвет), а справа - кусок параболы (красный цвет), при этом функция не определена в самой точке :
Если есть сомнения, возьмите несколько значений «икс», подставьте их в функцию (не забывая, что модуль уничтожает возможный знак «минус») и сверьтесь с графиком.
Исследуем функцию на непрерывность аналитически:
1) Функция не определена в точке , поэтому сразу можно сказать, что не является в ней непрерывной.
2) Установим характер разрыва, для этого вычислим односторонние пределы:
Односторонние пределы конечны и различны, значит, функция терпит разрыв 1-го рода со скачком в точке . Заметьте, что не имеет значения, определена функция в точке разрыва или нет.
Теперь остаётся перенести чертёж с черновика (он сделан как бы с помощью исследования;-)) и завершить задание:
Ответ
: функция непрерывна на всей числовой прямой кроме точки , в которой она терпит разрыв первого рода со скачком.
Иногда требуют дополнительно указать скачок разрыва. Вычисляется он элементарно - из правого предела нужно вычесть левый предел: , то есть в точке разрыва наша функция прыгнула на 2 единицы вниз (о чём нам сообщает знак «минус»).
Пример 3
Исследовать функцию на непрерывность. Определить характер разрывов функции, если они существуют. Сделать чертёж.
Это пример для самостоятельного решения, примерный образец решения в конце урока.
Перейдём к наиболее популярной и распространённой версии задания, когда функция состоит из трёх кусков:
Пример 4
Исследовать функцию на непрерывность и построить график функции
.
Решение
: очевидно, что все три части функции непрерывны на соответствующих интервалах, поэтому осталось проверить только две точки «стыка» между кусками. Сначала выполним чертёж на черновике, технику построения я достаточно подробно закомментировал в первой части статьи. Единственное, необходимо аккуратно проследить за нашими особенными точками: в силу неравенства значение принадлежит прямой (зелёная точка), и в силу неравенство значение принадлежит параболе (красная точка):
Ну вот, в принципе, всё понятно =) Осталось оформить решение. Для каждой из двух «стыковых» точек стандартно проверяем 3 условия непрерывности:
I)
1)
Односторонние пределы конечны и различны, значит, функция терпит разрыв 1-го рода со скачком в точке .
Вычислим скачок разрыва как разность правого и левого пределов:
, то есть, график рванул на одну единицу вверх.
II) Исследуем на непрерывность точку
1) - функция определена в данной точке.
2) Найдём односторонние пределы:
- односторонние пределы конечны и равны, значит, существует общий предел.
3)
На завершающем этапе переносим чертёж на чистовик, после чего ставим финальный аккорд:
Ответ
: функция непрерывна на всей числовой прямой, кроме точки , в которой она терпит разрыв первого рода со скачком.
Пример 5
Исследовать функцию на непрерывность и построить её график .
Это пример для самостоятельного решения, краткое решение и примерный образец оформления задачи в конце урока.
Может сложиться впечатление, что в одной точке функция обязательно должна быть непрерывной, а в другой - обязательно должен быть разрыв. На практике это далеко не всегда так. Постарайтесь не пренебрегать оставшимися примерами - будет несколько интересных и важных фишек:
Пример 6
Дана функция . Исследовать функцию на непрерывность в точках . Построить график.
Решение
: и снова сразу выполним чертёж на черновике:
Особенность данного графика состоит в том, что при кусочная функция задаётся уравнением оси абсцисс . Здесь данный участок прорисован зелёным цветом, а в тетради его обычно жирно выделяют простым карандашом. И, конечно же, не забываем про наших баранов: значение относится к ветке тангенса (красная точка), а значение принадлежит прямой .
Из чертежа всё понятно - функция непрерывна на всей числовой прямой, осталось оформить решение, которое доводится до полного автоматизма буквально после 3-4-х подобных примеров:
I) Исследуем на непрерывность точку
2) Вычислим односторонние пределы:
, значит, общий предел существует.
Случился тут небольшой курьёз. Дело в том, что я создал немало материалов о пределах функции, и несколько раз хотел, да несколько раз забывал об одном простом вопросе. И вот, невероятным усилием воли таки заставил себя не потерять мысль =) Скорее всего, некоторые читатели-«чайники» сомневаются: чему равен предел константы? Предел константы равен самой константе. В данном случае предел нуля равен самому нулю (левосторонний предел).
3) - предел функции в точке равен значению данной функции в данной точке.
Таким образом, функция непрерывна в точке по определению непрерывности функции в точке.
II) Исследуем на непрерывность точку
1) - функция определена в данной точке.
2) Найдём односторонние пределы:
И здесь, в правостороннем пределе - предел единицы равен самой единице.
- общий предел существует.
3) - предел функции в точке равен значению данной функции в данной точке.
Таким образом, функция непрерывна в точке по определению непрерывности функции в точке.
Как обычно, после исследования переносим наш чертёж на чистовик.
Ответ
: функция непрерывна в точках .
Обратите внимание, что в условии нас ничего не спрашивали про исследование всей функции на непрерывность, и хорошим математическим тоном считается формулировать точный и чёткий ответ на поставленный вопрос. Кстати, если по условию не требуется строить график, то вы имеете полное право его и не строить (правда, потом преподаватель может заставить это сделать).
Небольшая математическая «скороговорка» для самостоятельного решения:
Пример 7
Дана функция .
Исследовать функцию на непрерывность в точках . Классифицировать точки разрыва, если они есть. Выполнить чертёж.
Постарайтесь правильно «выговорить» все «слова» =) И график нарисовать поточнее, точность, она везде лишней не будет;-)
Как вы помните, я рекомендовал незамедлительно выполнять чертёж на черновике, но время от времени попадаются такие примеры, где не сразу сообразишь, как выглядит график. Поэтому в ряде случаев выгодно сначала найти односторонние пределы и только потом на основе исследования изобразить ветви. В двух заключительных примерах мы, кроме того, освоим технику вычисления некоторых односторонних пределов:
Пример 8
Исследовать на непрерывность функцию и построить её схематический график.
Решение
: нехорошие точки очевидны: (обращает в ноль знаменатель показателя) и (обращает в ноль знаменатель всей дроби). Малопонятно, как выглядит график данной функции, а значит, сначала лучше провести исследование:
I)Исследуем на непрерывность точку
2) Найдём односторонние пределы:
Обратите внимание на типовой приём вычисления одностороннего предела: в функцию вместо «икса» мы подставляем . В знаменателе никакого криминала: «добавка» «минус ноль» не играет роли, и получается «четыре». А вот в числителе происходит небольшой триллер: сначала в знаменателе показателя убиваем -1 и 1, в результате чего получается . Единица, делённая на , равна «минус бесконечности», следовательно: . И, наконец, «двойка» в бесконечно большой отрицательной степени равна нулю: . Или, если ещё подробнее: .
Вычислим правосторонний предел:
И здесь - вместо «икса» подставляем . В знаменателе «добавка» снова не играет роли: . В числителе проводятся аналогичные предыдущему пределу действия: уничтожаем противоположные числа и делим единицу на:
Правосторонний предел бесконечен, значит, функция терпит разрыв 2-го рода в точке .
II)Исследуем на непрерывность точку
1) Функция не определена в данной точке.
2) Вычислим левосторонний предел:
Метод такой же: подставляем в функцию вместо «икса» . В числителе ничего интересного - получается конечное положительно число . А в знаменателе раскрываем скобки, убираем «тройки», и решающую роль играет «добавка» .
По итогу, конечное положительное число, делённое на бесконечно малое положительное число, даёт «плюс бесконечность»: .
Правосторонний предел, как брат близнец, за тем лишь исключением, что в знаменателе выплывает бесконечно малое отрицательное число:
Односторонние пределы бесконечны, значит, функция терпит разрыв 2-го рода в точке .
Таким образом, у нас две точки разрыва, и, очевидно, три ветки графика. Для каждой ветки целесообразно провести поточечное построение, т.е. взять несколько значений «икс» и подставить их в . Заметьте, что по условию допускается построениесхематического чертежа, и такое послабление естественно для ручной работы. Я строю графики с помощью проги, поэтому не имею подобных затруднений, вот достаточно точная картинка:
Прямые являются вертикальными асимптотами для графика данной функции.
Ответ
: функция непрерывна на всей числовой прямой кроме точек , в которых она терпит разрывы 2-го рода.
Более простая функция для самостоятельного решения:
Пример 9
Исследовать на непрерывность функцию и выполнить схематический чертёж.
Примерный образец решения в конце, который подкрался незаметно.
До скорых встреч!
Решения и ответы:
Пример 3:Решение
: преобразуем функцию: . Учитывая правило раскрытия модуля и тот факт, что , перепишем функцию в кусочном виде:
Исследуем функцию на непрерывность.
1) Функция не определена в точке .
Односторонние пределы конечны и различны, значит, функция терпит разрыв 1-го рода со скачком в точке . Выполним чертёж:
Ответ: функция непрерывна на всей числовой прямой кроме точки
, в которой она терпит разрыв первого рода со скачком. Скачок разрыва: (две единицы вверх).
Пример 5:Решение
: каждая из трёх частей функции непрерывна на своём интервале.
I)
1)
2) Вычислим односторонние пределы:
, значит, общий предел существует.
3) - предел функции в точке равен значению данной функции в данной точке.
Таким образом, функция непрерывна в точке по определению непрерывности функции в точке.
II)
Исследуем на непрерывность точку
1) - функция определена в данной точке. функция терпит разрыв 2-го рода, в точке
Как найти область определения функции?
Примеры решений
Если где-то нет чего-то, значит, где-то что-то есть
Продолжаем изучение раздела «Функции и графики», и следующая станция нашего путешествия - Область определения функции. Активное обсуждение данного понятия началось на первом же уроке о графиках функций, где я рассмотрел элементарные функции, и, в частности, их области определения. Поэтому чайникам рекомендую начать с азов темы, поскольку я не буду вновь останавливаться на некоторых базовых моментах.
Предполагается, читатель знает области определения основных функций: линейной, квадратичной, кубической функции, многочленов, экспоненты, логарифма, синуса, косинуса. Они определены на . За тангенсы, арксинусы, так и быть, прощаю =) Более редкие графики запоминаются далеко не сразу.
Область определения - вроде бы вещь простая, и возникает закономерный вопрос, о чём же будет статья? На данном уроке я рассмотрю распространённые задачи на нахождение области определения функции. Кроме того, мы повторим неравенства с одной переменной, навыки решения которых потребуются и в других задачах высшей математики. Материал, к слову, весь школьный, поэтому будет полезен не только студентам, но и учащимся. Информация, конечно, не претендует на энциклопедичность, но зато здесь не надуманные «мёртвые» примеры, а жареные каштаны, которые взяты из настоящих практических работ.
Начнём с экспресс-вруба в тему. Коротко о главном: речь идёт о функции одной переменной . Её область определения - это множество значений «икс», для которых существуют значения «игреков». Рассмотрим условный пример:
Область определения данной функции представляет собой объединение промежутков:
(для тех, кто позабыл: - значок объединения). Иными словами, если взять любое значение «икс» из интервала , или из , или из , то для каждого такого «икс» будет существовать значение «игрек».
Грубо говоря, где область определения - там есть график функции. А вот полуинтервал и точка «цэ» не входят в область определения, поэтому графика там нет.
Да, кстати, если что-нибудь не понятно из терминологии и/или содержания первых абзацев, таки лучше вернуться к статье Графики и свойства элементарных функций.
Лекция 4.
Непрерывность функций
1. Непрерывность функции в точке
Определение 1.Пусть функция y=f(x) определена в точке х 0 и в некоторой окрестности этой точки. Функция y=f(x) называется непрерывной в точке х 0 , если существует предел функции в этой точке и он равен значению функции в этой точке, т.е.
Таким образом, условие непрерывности функции y=f(x) в точке х 0 состоит в том, что:
Так
как
,
то равенство (32) можно записать в виде
(33)
Это означает, что при нахождении предела непрерывной функцииf(x) можно перейти к пределу под знаком функции, т.е. в функцию f(x) вместо аргумента х подставить его предельное значение х 0 .
lim sin x=sin(lim x);
lim arctg x=arctg (lim x); (34)
lim lоg x=lоg (lim x).
Задание.Найти предел: 1)
;
2)
.
Дадим определение непрерывности функции, опираясь на понятия приращения аргумента и функции.
Т.к. условия
и
одинаковы (рис.4), то равенство (32) принимает
вид:
или
.
Определение 2. Функция y=f(x) называется непрерывной в точке х 0 , если она определена в точке х 0 и её окрестности, и бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.
Задание. Исследовать на непрерывность функцию y=2х 2 1.
Свойства функций, непрервных в точке
1. Если функции
f(x)
и φ(x) непрерывны
в точке х 0 , то их сумма
,
произведение
и частное
(при условии
)
являются функциями, непрерывными в
точке х 0 .
2. Если функция у=f(x) непрерывна в точке х 0 и f(x 0)>0, то существует такая окрестность точки х 0 , в которой f(x)>0.
3. Если функция у=f(u) непрерывна в точке u 0 , а функция u=φ(x) непрерывна в точкеu 0 =φ(x 0), то сложная функция y=f[φ(x)] непрерывна в точке х 0 .
2. Непрерывность функции в интервале и на отрезке
Функция y=f(x) называется непрерывной в интервале (a;b), если она непрерывна в каждой точке этого интервала.
Функция
y=f(x)
называется непрерывной на отрезке
[a;b],
если она непрерывна в интервале (a;b),
и в точке х=а непрерывна справа
(т.е.
),
а в точке x=b
непрерывна слева (т.е.
).
3. Точки разрыва функции и их классификация
Точки, в которых нарушается непрерывность функции, называются точками разрыва этой функции.
Если х=х 0 точка разрыва функции y=f(x), то в ней не выполняется по крайней мере одно из условий первого определения непрерывности функции.
Пример.
1.
. 2.
3)
4)
.
▼Точка
разрыва х 0 называется точкой
разрыва первого рода функции y=f(x),
если в этой точке существуют конечные
пределы функции слева и справа
(односторонние пределы), т.е.
и
.
При этом:
Величину |A 1 -A 2 | называют скачком функции в точке разрыва первого рода. ▲
▼Точка разрыва х 0 называется точкой разрыва второго рода функции y=f(x), если по крайней мере один из односторонних пределов (слева или справа) не существует или равен бесконечности. ▲
Задание. Найти точки разрыва и выяснить их тип для функций:
1)
;
2)
.
4. Основные теоремы о непрерывных функциях
Теоремы о непрерывности функций следуют непосредственно из соответствующих теорем о пределах.
Теорема 1. Сумма, произведение и частное двух непрерывных функций есть функция непрерывная (для частного за исключением тех значений аргумента, в которых делитель не равен нулю).
Теорема 2. Пусть функции u=φ(x) непрерывна в точке х 0 , а функция y=f(u) непрерывна в точке u=φ(x 0). Тогда сложная функция f(φ(x)), состоящая из непрерывных функций, непрерывна в точке х 0 .
Теорема 3. Если функция y=f(x) непрерывна и строго монотонна на [a;b] оси Ох, то обратная функция у=φ(x) также непрерывна и монотонна на соответствующем отрезке [c;d] оси Оу.
Всякая элементарная функция непрерывна в каждой точке, в которой она определена.
5. Свойства функций, непрерывных на отрезке
Теорема Вейерштрасса. Если функция непрерывна на отрезке, то она достигает на этом отрезке своего наибольшего и наименьшего значений.
Следствие. Если функция непрерывна на отрезке, то она ограничена на отрезке.
Теорема Больцано-Коши.Если функция y=f(x)
непрерывна на отрезке [a;b]
и принимает на его концах неравные
значения f(a)=A
и f(b)=B,
,
то каково бы ни было число С,
заключённое между А и В,найдётся
точка
такая, что f(c)=C.
Геометрически теорема очевидна. Для любого числа С, заключённого между А и В, найдётся точка с внутри этого отрезка такая, что f(С)=C. Прямая у=С пересечёт график функции по крайней мере в одной точке.
Следствие. Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a;b] и принимает на его концах значения разных знаков, то внутри отрезка [a;b] найдётся хотя бы одна точка с, в которой функция y=f(x) обращается в нуль: f(c)=0.
Геометрическийсмысл теоремы: если график непрерывной функции переходит с одной стороны оси Ох на другую, то он пересекает ось Ох.
Непрерывность функции. Точки разрыва.
Идет бычок, качается, вздыхает на ходу:
– Ох, доска кончается, сейчас я упаду!
На данном уроке мы разберём понятие непрерывности функции, классификацию точек разрыва и распространённую практическую задачу исследования функции на непрерывность. Из самого названия темы многие интуитивно догадываются, о чём пойдёт речь, и думают, что материал довольно простой. Это правда. Но именно несложные задачи чаще всего наказывают за пренебрежение и поверхностный подход к их решению. Поэтому рекомендую очень внимательно изучить статью и уловить все тонкости и технические приёмы.
Что нужно знать и уметь?Не очень-то и много. Для качественного усвоения урока необходимо понимать, что такое предел функции. Читателям с низким уровнем подготовки достаточно осмыслить статью Пределы функций. Примеры решений и посмотреть геометрический смысл предела в методичке Графики и свойства элементарных функций. Также желательно ознакомиться с геометрическими преобразованиями графиков, поскольку практика в большинстве случаев предполагает построение чертежа. Перспективы оптимистичны для всех, и даже полный чайник сумеет самостоятельно справиться с задачей в ближайший час-другой!
Непрерывность функции. Точки разрыва и их классификация
Понятие непрерывности функции
Рассмотрим некоторую функцию , непрерывную на всей числовой прямой:
Или, говоря лаконичнее, наша функция непрерывна на (множестве действительных чисел).
Каков «обывательский» критерий непрерывности? Очевидно, что график непрерывной функции можно начертить, не отрывая карандаша от бумаги.
При этом следует чётко отличать два простых понятия: область определения функции и непрерывность функции. В общем случае это не одно и то же. Например:
Данная функция определена на всей числовой прямой, то есть для каждого значения «икс» существует своё значение «игрека» . В частности, если , то . Заметьте, что другая точка выколота, ведь по определению функции, значению аргумента должно соответствовать единственное значение функции. Таким образом, область определения нашей функции: .
Однако эта функция не является непрерывной на ! Совершенно очевидно, что в точке она терпит разрыв. Термин тоже вполне вразумителен и нагляден, действительно, карандаш здесь по любому придётся оторвать от бумаги. Немного позже мы рассмотрим классификацию точек разрыва.
Непрерывность функции в точке и на интервале
В той или иной математической задаче речь может идти о непрерывности функции в точке, непрерывности функции на интервале, полуинтервале или непрерывности функции на отрезке. То есть, не существует «просто непрерывности» – функция может быть непрерывной ГДЕ-ТО. И основополагающим «кирпичиком» всего остального является непрерывность функции в точке .
Теория математического анализа даёт определение непрерывности функции в точке с помощью «дельта» и «эпсилон» окрестностей, но на практике в ходу другое определение, которому мы и уделим самое пристальное внимание.
Сначала вспомним односторонние пределы, ворвавшиеся в нашу жизнь на первом уроке о графиках функций. Рассмотрим будничную ситуацию:
Если приближаться по оси к точке слева (красная стрелка), то соответствующие значения «игреков» будут идти по оси к точке (малиновая стрелка). Математически данный факт фиксируется с помощью левостороннего предела:
Обратите внимание на запись (читается «икс стремится к ка слева»). «Добавка» «минус ноль» символизирует , по сути это и обозначает, что мы подходим к числу с левой стороны.
Аналогично, если приближаться к точке «ка» справа (синяя стрелка), то «игреки» придут к тому же значению , но уже по зелёной стрелке, и правосторонний предел оформится следующим образом:
«Добавка» символизирует , и запись читается так: «икс стремится к ка справа».
Если односторонние пределы конечны и равны (как в нашем случае): , то будем говорить, что существует ОБЩИЙ предел . Всё просто, общий предел – это наш «обычный» предел функции, равный конечному числу.
Заметьте, что если функция не определена при (выколите чёрную точку на ветке графика), то перечисленные выкладки остаются справедливыми. Как уже неоднократно отмечалось, в частности, в статье о бесконечно малых функциях, выражения означают, что «икс» бесконечно близко приближается к точке , при этом НЕ ИМЕЕТ ЗНАЧЕНИЯ, определена ли сама функция в данной точке или нет. Хороший пример встретится в следующем параграфе, когда анализу подвергнется функция .
Определение
: функция непрерывна в точке , если предел функции в данной точке равен значению функции в этой точке: .
Определение детализируется в следующих условиях:
1) Функция должна быть определена в точке , то есть должно существовать значение .
2) Должен существовать общий предел функции . Как отмечалось выше, это подразумевает существование и равенство односторонних пределов: .
3) Предел функции в данной точке должен быть равен значению функции в этой точке: .
Если нарушено хотя бы одно из трёх условий, то функция теряет свойство непрерывности в точке .
Непрерывность функции на интервале формулируется остроумно и очень просто: функция непрерывна на интервале , если она непрерывна в каждой точке данного интервала.
В частности, многие функции непрерывны на бесконечном интервале , то есть на множестве действительных чисел . Это линейная функция, многочлены, экспонента, синус, косинус и др. И вообще, любая элементарная функция непрерывна на своей области определения, так, например, логарифмическая функция непрерывна на интервале . Надеюсь, к данному моменту вы достаточно хорошо представляете, как выглядят графики основных функций. Более подробную информацию об их непрерывности можно почерпнуть у доброго человека по фамилии Фихтенгольц.
С непрерывностью функции на отрезке и полуинтервалах тоже всё несложно, но об этом уместнее рассказать на уроке о нахождении минимального и максимального значений функции на отрезке, а пока голову забивать не будем.
Классификация точек разрыва
Увлекательная жизнь функций богата всякими особенными точками, и точки разрыва лишь одна из страничек их биографии.
Примечание
: на всякий случай остановлюсь на элементарном моменте: точка разрыва – это всегда отдельно взятая точка – не бывает «несколько точек разрыва подряд», то есть, нет такого понятия, как «интервал разрывов».
Данные точки в свою очередь подразделяются на две большие группы: разрывы первого рода и разрывы второго рода. У каждого типа разрыва есть свои характерные особенности, которые мы рассмотрим прямо сейчас:
Точка разрыва первого рода
Если в точке нарушено условие непрерывности и односторонние пределы конечны , то она называется точкой разрыва первого рода.
Начнём с самого оптимистичного случая. По первоначальной задумке урока я хотел рассказать теорию «в общем виде», но чтобы продемонстрировать реальность материала, остановился на варианте с конкретными действующими лицами.
Уныло, как фото молодожёнов на фоне Вечного огня, но нижеследующий кадр общепринят. Изобразим на чертеже график функции :
Данная функция непрерывна на всей числовой прямой, кроме точки . И в самом деле, знаменатель же не может быть равен нулю. Однако в соответствии со смыслом предела – мы можем бесконечно близко приближаться к «нулю» и слева и справа, то есть, односторонние пределы существуют и, очевидно, совпадают:
(Условие №2 непрерывности выполнено).
Но функция не определена в точке , следовательно, нарушено Условие №1 непрерывности, и функция терпит разрыв в данной точке.
Разрыв такого вида (с существующим общим пределом) называют устранимым разрывом. Почему устранимым? Потому что функцию можно доопределить в точке разрыва:
Странно выглядит? Возможно. Но такая запись функции ничему не противоречит! Теперь разрыв устранён и все счастливы:
Выполним формальную проверку:
2) – общий предел существует;
3)
Таким образом, все три условия выполнены, и функция непрерывна в точке по определению непрерывности функции в точке.
Впрочем, ненавистники матана могут доопределить функцию нехорошим способом, например :
Любопытно, что здесь выполнены первые два условия непрерывности:
1) – функция определена в данной точке;
2) – общий предел существует.
Но третий рубеж не пройден: , то есть предел функции в точке не равен значению данной функции в данной точке.
Таким образом, в точке функция терпит разрыв.
Второй, более грустный случай носит название разрыва первого рода со скачком. А грусть навевают односторонние пределы, которые конечны и различны. Пример изображён на втором чертеже урока. Такой разрыв возникает, как правило, в кусочно-заданных функциях, о которых уже упоминалось в статье о преобразованиях графиков.
Рассмотрим кусочную функцию и выполним её чертёж. Как построить график? Очень просто. На полуинтервале чертим фрагмент параболы (зеленый цвет), на интервале – отрезок прямой (красный цвет) и на полуинтервале – прямую (синий цвет).
При этом в силу неравенства значение определено для квадратичной функции (зелёная точка), и в силу неравенства , значение определено для линейной функции (синяя точка):
В самом-самом тяжёлом случае следует прибегнуть к поточечному построению каждого куска графика (см. первый урок о графиках функций).
Сейчас нас будет интересовать только точка . Исследуем её на непрерывность:
2) Вычислим односторонние пределы.
Слева у нас красный отрезок прямой, поэтому левосторонний предел:
Справа – синяя прямая, и правосторонний предел:
В результате получены конечные числа, причем они не равны. Поскольку односторонние пределы конечны и различны: , то наша функция терпит разрыв первого рода со скачком.
Логично, что разрыв не устраним – функцию действительно не доопределить и «не склеить», как в предыдущем примере.
Точки разрыва второго рода
Обычно к данной категории хитро относят все остальные случаи разрыва. Всё перечислять не буду, поскольку на практике в 99%-ти процентах задач вам встретится бесконечный разрыв – когда левосторонний или правосторонний, а чаще, оба предела бесконечны.
И, конечно же, самая напрашивающаяся картинка – гипербола в точке ноль. Здесь оба односторонних предела бесконечны: , следовательно, функция терпит разрыв второго рода в точке .
Я стараюсь наполнять свои статьи максимально разнообразным содержанием, поэтому давайте посмотрим на график функции , который ещё не встречался:
по стандартной схеме:
1) Функция не определена в данной точке, поскольку знаменатель обращается в ноль.
Конечно, можно сразу сделать вывод о том, что функция терпит разрыв в точке , но хорошо бы классифицировать характер разрыва, что часто требуется по условию. Для этого:
Напоминаю, что под записью понимается бесконечно малое отрицательное число, а под записью – бесконечно малое положительное число.
Односторонние пределы бесконечны, значит, функция терпит разрыв 2-го рода в точке . Ось ординат является вертикальной асимптотой для графика.
Не редка ситуация, когда оба односторонних предела существуют, но бесконечен только один из них, например:
Это график функции .
Исследуем на непрерывность точку :
1) Функция не определена в данной точке.
2) Вычислим односторонние пределы:
О методике вычисления таких односторонних пределов поговорим в двух последних примерах лекции, хотя многие читатели всё уже увидели и догадались.
Левосторонний предел конечен и равен нулю (в саму точку мы «не заходим»), но правосторонний предел бесконечен и оранжевая ветка графика бесконечно близко приближается к своей вертикальной асимптоте, заданной уравнением (чёрный пунктир).
Таким образом, функция терпит разрыв второго рода в точке .
Как и для разрыва 1-го рода, в самой точке разрыва функция может быть определена. Например, для кусочной функции смело ставим чёрную жирную точку в начале координат. Справа же – ветка гиперболы, и правосторонний предел бесконечен. Думаю, почти все представили, как выглядит этот график.
То, чего все с нетерпением ждали:
Как исследовать функцию на непрерывность?
Исследование функции на непрерывность в точке проводится по уже накатанной рутинной схеме, которая состоит в проверке трёх условий непрерывности:
Пример 1
Исследовать функцию
Решение
:
1) Под прицел попадает единственная точка , в которой функция не определена.
2) Вычислим односторонние пределы:
Односторонние пределы конечны и равны.
Таким образом, в точке функция терпит устранимый разрыв.
Как выглядит график данной функции?
Хочется провести упрощение , и вроде бы получается обычная парабола. НО исходная функция не определена в точке , поэтому обязательна следующая оговорка:
Выполним чертёж:
Ответ
: функция непрерывна на всей числовой прямой кроме точки , в которой она терпит устранимый разрыв.
Функцию можно доопределить хорошим или не очень способом, но по условию этого не требуется.
Вы скажете, пример надуманный? Ничуть. Десятки раз встречалось на практике. Почти все задачи сайта родом из реальных самостоятельных и контрольных работ.
Разделаемся с любимыми модулями:
Пример 2
Исследовать функцию на непрерывность. Определить характер разрывов функции, если они существуют. Выполнить чертёж.
Решение
: почему-то студенты боятся и не любят функции с модулем, хотя ничего сложного в них нет. Таких вещей мы уже немного коснулись на уроке Геометрические преобразования графиков. Поскольку модуль неотрицателен, то он раскрывается следующим образом: , где «альфа» – некоторое выражение. В данном случае , и наша функция должна расписаться кусочным образом:
Но дроби обоих кусков предстоит сократить на . Сокращение, как и в предыдущем примере, не пройдёт без последствий. Исходная функция не определена в точке , так как знаменатель обращается в ноль. Поэтому в системе следует дополнительно указать условие , и первое неравенство сделать строгим:
Теперь об ОЧЕНЬ ПОЛЕЗНОМ приёме решения: перед чистовым оформлением задачи на черновике выгодно сделать чертёж (независимо от того, требуется он по условию или нет). Это поможет, во-первых, сразу увидеть точки непрерывности и точки разрыва, а, во-вторых, 100%-но убережёт от ошибок при нахождении односторонних пределов.
Выполним чертёж. В соответствии с нашими выкладками, слева от точки необходимо начертить фрагмент параболы (синий цвет), а справа – кусок параболы (красный цвет), при этом функция не определена в самой точке :
Если есть сомнения, возьмите несколько значений «икс», подставьте их в функцию (не забывая, что модуль уничтожает возможный знак «минус») и сверьтесь с графиком.
Исследуем функцию на непрерывность аналитически:
1) Функция не определена в точке , поэтому сразу можно сказать, что не является в ней непрерывной.
2) Установим характер разрыва, для этого вычислим односторонние пределы:
Односторонние пределы конечны и различны, значит, функция терпит разрыв 1-го рода со скачком в точке . Ещё раз заметьте, что при нахождении пределов не имеет значения, определена функция в точке разрыва или нет.
Теперь остаётся перенести чертёж с черновика (он сделан как бы с помощью исследования;-)) и завершить задание:
Ответ
: функция непрерывна на всей числовой прямой кроме точки , в которой она терпит разрыв первого рода со скачком.
Иногда требуют дополнительно указать скачок разрыва. Вычисляется он элементарно – из правого предела нужно вычесть левый предел: , то есть в точке разрыва наша функция прыгнула на 2 единицы вниз (о чём нам сообщает знак «минус»).
Пример 3
Исследовать функцию на непрерывность. Определить характер разрывов функции, если они существуют. Сделать чертёж.
Это пример для самостоятельного решения, примерный образец решения в конце урока.
Перейдём к наиболее популярной и распространённой версии задания, когда функция состоит из трёх кусков:
Пример 4
Исследовать функцию на непрерывность и построить график функции .
Решение
: очевидно, что все три части функции непрерывны на соответствующих интервалах, поэтому осталось проверить только две точки «стыка» между кусками. Сначала выполним чертёж на черновике, технику построения я достаточно подробно закомментировал в первой части статьи. Единственное, необходимо аккуратно проследить за нашими особенными точками: в силу неравенства значение принадлежит прямой (зелёная точка), и в силу неравенство значение принадлежит параболе (красная точка):
Ну вот, в принципе, всё понятно =) Осталось оформить решение. Для каждой из двух «стыковых» точек стандартно проверяем 3 условия непрерывности:
I) Исследуем на непрерывность точку
1)
Односторонние пределы конечны и различны, значит, функция терпит разрыв 1-го рода со скачком в точке .
Вычислим скачок разрыва как разность правого и левого пределов:
, то есть, график рванул на одну единицу вверх.
II) Исследуем на непрерывность точку
1) – функция определена в данной точке.
2) Найдём односторонние пределы:
– односторонние пределы конечны и равны, значит, существует общий предел.
3) – предел функции в точке равен значению данной функции в данной точке.
На завершающем этапе переносим чертёж на чистовик, после чего ставим финальный аккорд:
Ответ
: функция непрерывна на всей числовой прямой, кроме точки , в которой она терпит разрыв первого рода со скачком.
Пример 5
Исследовать функцию на непрерывность и построить её график .
Это пример для самостоятельного решения, краткое решение и примерный образец оформления задачи в конце урока.
Может сложиться впечатление, что в одной точке функция обязательно должна быть непрерывной, а в другой – обязательно должен быть разрыв. На практике это далеко не всегда так. Постарайтесь не пренебрегать оставшимися примерами – будет несколько интересных и важных фишек:
Пример 6
Дана функция . Исследовать функцию на непрерывность в точках . Построить график.
Решение
: и снова сразу выполним чертёж на черновике:
Особенность данного графика состоит в том, что при кусочная функция задаётся уравнением оси абсцисс . Здесь данный участок прорисован зелёным цветом, а в тетради его обычно жирно выделяют простым карандашом. И, конечно же, не забываем про наших баранов: значение относится к ветке тангенса (красная точка), а значение принадлежит прямой .
Из чертежа всё понятно – функция непрерывна на всей числовой прямой, осталось оформить решение, которое доводится до полного автоматизма буквально после 3-4 подобных примеров:
I) Исследуем на непрерывность точку
1) – функция определена в данной точке.
2) Вычислим односторонние пределы:
, значит, общий предел существует.
На всякий пожарный напомню тривиальный факт: предел константы равен самой константе. В данном случае предел нуля равен самому нулю (левосторонний предел).
3) – предел функции в точке равен значению данной функции в данной точке.
Таким образом, функция непрерывна в точке по определению непрерывности функции в точке.
II) Исследуем на непрерывность точку
1) – функция определена в данной точке.
2) Найдём односторонние пределы:
И здесь – предел единицы равен самой единице.
– общий предел существует.
3) – предел функции в точке равен значению данной функции в данной точке.
Таким образом, функция непрерывна в точке по определению непрерывности функции в точке.
Как обычно, после исследования переносим наш чертёж на чистовик.
Ответ
: функция непрерывна в точках .
Обратите внимание, что в условии нас ничего не спрашивали про исследование всей функции на непрерывность, и хорошим математическим тоном считается формулировать точный и чёткий ответ на поставленный вопрос. Кстати, если по условию не требуется строить график, то вы имеете полное право его и не строить (правда, потом преподаватель может заставить это сделать).
Небольшая математическая «скороговорка» для самостоятельного решения:
Пример 7
Дана функция . Исследовать функцию на непрерывность в точках . Классифицировать точки разрыва, если они есть. Выполнить чертёж.
Постарайтесь правильно «выговорить» все «слова» =) И график нарисовать поточнее, точность, она везде лишней не будет;-)
Как вы помните, я рекомендовал незамедлительно выполнять чертёж на черновике, но время от времени попадаются такие примеры, где не сразу сообразишь, как выглядит график. Поэтому в ряде случаев выгодно сначала найти односторонние пределы и только потом на основе исследования изобразить ветви. В двух заключительных примерах мы, кроме того, освоим технику вычисления некоторых односторонних пределов:
Пример 8
Исследовать на непрерывность функцию и построить её схематический график.
Решение
: нехорошие точки очевидны: (обращает в ноль знаменатель показателя) и (обращает в ноль знаменатель всей дроби). Малопонятно, как выглядит график данной функции, а значит, сначала лучше провести исследование.
Приводится определение непрерывности функции в точке. Рассмотрены эквивалентные определения по Гейне, по Коши и в терминах приращений. Определение односторонней непрерывности на концах отрезка. Формулировка отсутствия непрерывности. Разобраны примеры, в которых требуется доказать непрерывность функции, используя определения по Гейне и по Коши.
СодержаниеСм. также: Предел функции - определения, теоремы и свойства
Непрерывность в точке
Определение непрерывности функции в точке
Функция f(x) называется непрерывной в точке x0
окрестности U(x 0) этой точки, и если предел при x
стремящемся к x0 существует и равен значению функции в x0:
.
Здесь подразумевается, что x0 - это конечная точка. Значение функции в ней может быть только конечным числом.
Определение непрерывности справа (слева)
Функция f(x) называется непрерывной справа (слева) в точке x0
, если она определена на некоторой правосторонней (левосторонней) окрестности этой точки, и если правый (левый) предел в точке x0 равен значению функции в x0:
.
Примеры
Пример 1
Используя определения по Гейне и Коши доказать, что функция непрерывна для всех x .
Пусть есть произвольное число. Докажем, что заданная функция непрерывна в точке . Функция определена для всех x . Поэтому она определена в точке и в любой ее окрестности.
Используем определение по Гейне
Используем . Пусть есть произвольная последовательность, сходящаяся к :
.
Применяя свойство предела произведения последовательностей имеем:
.
Поскольку есть произвольная последовательность, сходящаяся к ,
то
.
Непрерывность доказана.
Используем определение по Коши
Используем .
Рассмотрим случай .
Мы вправе рассматривать функцию на любой окрестности точки .
Поэтому будем считать, что
(П1.1) .
Применим формулу:
.
Учитывая (П1.1), сделаем оценку:
;
(П1.2) .
Применяя (П1.2), оценим абсолютную величину разности:
;
(П1.3) .
.
Согласно свойствам неравенств, если выполняется (П1.3), если и если ,
то .
.
Теперь рассмотрим точку .
В этом случае
.
.
.
Это означает, что функция непрерывна в точке .
Аналогичным способом можно доказать, что функция , где n - натуральное число, непрерывна на всей действительной оси.
Пример 2
Используя доказать, что функция непрерывна для всех .
Заданная функция определена при . Докажем, что она непрерывна в точке .
Рассмотрим случай .
Мы вправе рассматривать функцию на любой окрестности точки .
Поэтому будем считать, что
(П2.1) .
Применим формулу:
(П2.2) .
Положим .
Тогда
.
Учитывая (П2.1), сделаем оценку:
.
Итак,
.
Применяя это неравенство, и используя (П2.2), оценим разность:
.
Итак,
(П2.3) .
Вводим положительные числа и ,
связав их соотношениями:
.
Согласно свойствам неравенств, если выполняется (П2.3), если и если ,
то .
Это означает, что для любого положительного всегда найдется .
Тогда для всех x
,
удовлетворяющих неравенству ,
автоматически выполняется неравенство:
.
Это означает, что функция непрерывна в точке .
Теперь рассмотрим точку .
Нам нужно показать, что заданная функция непрерывна в этой точке справа. В этом случае
.
Вводим положительные числа и :
.
Отсюда видно, что для любого положительного всегда найдется .
Тогда для всех x
,
таких что ,
выполняется неравенство:
.
Это означает, что .
То есть функция непрерывна справа в точке .
Аналогичным способом можно доказать, что функция , где n - натуральное число, непрерывна при .
Использованная литература:
О.И. Бесов. Лекции по математическому анализу. Часть 1. Москва, 2004.
Л.Д. Кудрявцев. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 2003.
С.М. Никольский. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 1983.