Скорость и перемещение при равноускоренном движении. Прямолинейное движение материальной точки

Считаем шоссе прямолинейным. Запишем уравнение движения велосипедиста. Так как велосипедист двигался равномерно, то его уравнение движения:

(начало координат помещаем в точку старта, поэтому начальная координата велосипедиста равна нулю).

Мотоциклист двигался равноускоренно. Он также начал движение с места старта, поэтому его начальная координата равна нулю, начальная скорость мотоциклиста также равна нулю (мотоциклист начал двигаться из состояния покоя).

Учитывая, что мотоциклист начал движение на позже, уравнение движения мотоциклиста:

При этом скорость мотоциклиста изменялась по закону:

В момент, когда мотоциклист догнал велосипедиста их координаты равны, т.е. или:

Решая это уравнение относительно , находим время встречи:

Это квадратное уравнение. Определяем дискриминант:

Определяем корни:

Подставим в формулы числовые значения и вычислим:

Второй корень отбрасываем как несоответствующий физическим условиям задачи: мотоциклист не мог догнать велосипедиста через 0,37 с после начала движения велосипедиста, так как сам покинул точку старта только через 2 с после того, как стартовал велосипедист.

Таким образом, время, когда мотоциклист догнал велосипедиста:

Подставим это значение времени в формулу закона изменения скорости мотоциклиста и найдем значение его скорости в этот момент:

2) Графический способ.

На одной координатной плоскости строим графики изменения со временем координат велосипедиста и мотоциклиста (график для координаты велосипедиста — красным цветом, для мотоциклиста — зеленым). Видно, что зависимость координаты от времени для велосипедиста — линейная функция, и график этой функции — прямая (случай равномерного прямолинейного движения). Мотоциклист двигался равноускоренно, поэтому зависимость координаты мотоциклиста от времени — квадратичная функция, графиком которой является парабола.

Равнопеременное движение. Уравнения скорости и перемещения при равнопеременном движении. Графическое представление равнопеременного движения.

Краткий ответ

равноускоренным или равнопеременным движением.

Обозначения:

Начальная скорость тела

Ускорение тела

Время движения тела

S(t) - изменение перемещения (пути) со временем

a(t) - изменение ускорения со временем

Зависимость ускорения от времени. Ускорение со временем не изменяется, имеет постоянное значение, график a(t) - прямая линия, параллельная оси времени.

Зависимость скорости от времени. При равномерном движении скорость изменяется, согласно линейной зависимости . Графиком является наклонная линия.

Правило определения пути по графику v(t): Путь тела - это площадь треугольника (или трапеции) под графиком скорости.

Правило определения ускорения по графику v(t): Ускорение тела - это тангенс угла наклона графика к оси времени. Если тело замедляет движение, ускорение отрицательное, угол графика тупой, поэтому находим тангенс смежного угла.

Зависимость пути от времени. При равноускоренном движении путь изменяется, согласно квадратной зависимости . В координатах зависимость имеет вид . Графиком является ветка параболы.

Выводятся формулы прямолинейного движения материальной точки для трех способов задания движения - при известной зависимости координаты от времени; при известной зависимости ускорения от времени и ускорения от координаты. Рассмотрены прямолинейное равномерное и прямолинейное равноускоренное движения.

Основные формулы прямолинейного движения

Пусть материальная точка движется по оси . Далее и обозначают координату и скорость точки в начальный момент времени .
Если задан закон изменения ее координаты от времени:
,
то дифференцируя координату по времени, получаем скорость и ускорение точки:
;
.

Пусть нам известна зависимость ускорения от времени:
.
Тогда зависимости скорости и координаты от времени определяются по формулам:
(1) ;
(2) ;
(3) ;
(4) .

Пусть нам известна зависимость ускорения от координаты:
.
Тогда зависимость скорости от координаты имеет вид:
(5) .
Зависимость координаты от времени определяется в неявном виде:
(6) .

Для прямолинейного равномерного движения:
;
;
.

Для прямолинейного равноускоренного движения:
;
;
;
.

Приведенные здесь формулы можно применить не только для прямолинейного движения, но и для некоторых случаев криволинейного движения. Например для трехмерного движения в прямоугольной системе координат , если движение вдоль оси не зависит от проекций величин на другие координатные оси. Тогда формулы (1) - (6) дают зависимости для проекций величин на ось .

Также эти формулы применимы при движении по заданной траектории при естественном способе задания движения. Только здесь в качестве координаты выступает длина дуги траектории, отсчитываемая от выбранного начала отсчета . Тогда вместо проекций и следует подставить и - проекции скорости и ускорения на выбранное направление касательной к траектории.

Прямолинейное движение при известной зависимости координаты от времени

Рассмотрим случай, когда материальная точка движется по прямой линии. Выберем систему координат с началом в произвольной точке . Ось направим вдоль линии движения точки. Тогда положение точки однозначно определяется значением одной координаты .

Если задан закон изменения координаты от времени :
,
то дифференцируя по времени , найдем закон изменения скорости:
.
При точка движется в положительном направлении оси (на рисунке слева направо). При точка движется в отрицательном направлении оси (на рисунке справа налево).

Дифференцируя скорость по времени, находим закон изменения ускорения:
.
Поскольку прямая не имеет кривизны, то радиус кривизны траектории можно считать бесконечно большим, . Тогда нормальное ускорение равно нулю:
.
То есть ускорение точки тангенциальное (касательное):
.
Что вполне естественно, поскольку и скорость и ускорение точки направлены по касательной к траектории - прямой, вдоль которой происходит движение.
Если и одного знака (то есть оба положительные или оба отрицательные), то модуль скорости увеличивается (скорость возрастает по абсолютной величине). Если и разных знаков, то модуль скорости уменьшается (скорость убывает по абсолютной величине).

Прямолинейное движение при известном ускорении

Ускорение, зависящее от времени

Пусть нам известен закон изменения ускорения от времени:
.
Нашей задачей является найти закон изменения скорости и закон изменения координаты от времени:
;
.

Применим формулу:
.
Это дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными
;
.
Здесь - постоянная интегрирования. Отсюда видно, что только по известной зависимости ускорения от времени, нельзя однозначно определить зависимость скорости от времени. Мы получили целое множество законов изменения скорости, которые отличаются друг от друга на произвольную постоянную . Чтобы найти нужный нам закон изменения скорости, мы должны задать еще одно значение. Как правило таким значением является значение скорости в начальный момент времени . Чтобы это сделать перейдем от неопределенного интеграла к определенному:
.
Пусть - скорость точки в начальный момент времени . Подставим :
;
;
.
Таким образом закон изменения скорости от времени имеет вид:
(1) .

Аналогичным образом определяем закон изменения координаты от времени.
.
(2) .
Здесь - значение координаты в начальный момент времени .

Подставим (1) в (2).

.

Область интегрирования в двойном интеграле.

Если изменить порядок интегрирования в двойном интеграле, то получим:

.

Таким образом, мы получили следующие формулы:
(3) ;
(4) .

Ускорение, зависящее от координаты

Пусть теперь нам известен закон изменения ускорения от координаты:
.
Нам нужно решить дифференциальное уравнение:
.
Это дифференциальное уравнение не содержит независимую переменную в явном виде. Общий метод решения таких уравнений рассмотрен на странице “Дифференциальные уравнения высших порядков, не содержащие независимую переменную в явном виде ”. Согласно этому методу мы считаем, что является функцией от :
;
.
Разделяем переменные и интегрируем:
;
;
;
.
Извлекая корень нужно учесть, что скорость может быть как положительной, так и отрицательной. На небольшом удалении от точки , знак определяется знаком постоянной . Однако, если ускорение направлено противоположно скорости, то скорость точки уменьшится до нуля и направление движения изменится на противоположное. Поэтому правильный знак, плюс или минус, выбирается при рассмотрении конкретного движения.
(5) .
В начале движения
.

Теперь определяем зависимость координаты от времени. Дифференциальное уравнение для координаты имеет вид:
.
Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными . Разделяем переменные и интегрируем:
(6) .
Это уравнение определяет зависимость координаты от времени в неявном виде.

Прямолинейное равномерное движение

Применим полученные выше результаты для случая прямолинейного равномерного движения. В этом случае ускорение
.
;
. То есть скорость является постоянной, а координата линейно зависит от времени. Формулы (5) и (6) дают тот же самый результат.

Прямолинейное равноускоренное движение

Теперь рассмотрим прямолинейное равноускоренное движение.
В этом случае ускорение является величиной постоянной:
.
По формулам (1) и (2) находим:
;

.

Если применим формулу (5), то получим зависимость скорости от координаты:
.

Прямолинейное движение в векторном виде

Полученные формулы можно представить в векторном виде. Для этого достаточно умножить уравнения, определяющие , и на единичный вектор (орт) , направленный вдоль оси .

Тогда радиус-вектор точки, векторы скорости и ускорения имеют вид:
;
;
.

Равноускоренное движение - движение, при котором ускорение постоянно по модулю и направлению .

Примером такого движения является движение тела, брошенного под углом α {\displaystyle \alpha } к горизонту в однородном поле силы тяжести - тело движется с постоянным ускорением a → = g → {\displaystyle {\vec {a}}={\vec {g}}}, направленным вертикально вниз.

При равноускоренном движении по прямой скорость тела определяется формулой:

Зная, что v (t) = d d t x (t) {\displaystyle v(t)={\frac {d}{dt}}x(t)}, найдём формулу для определения координаты x:

Примечание. Равнозамедленным можно назвать движение, при котором модуль скорости равномерно уменьшается со временем (если вектора v → {\displaystyle {\vec {v}}} и a → {\displaystyle {\vec {a}}} противонаправлены). Равнозамедленное движение также является равноускоренным.

Энциклопедичный YouTube

• 1 / 5

  В случае одномерного равноускоренного движения вдоль координаты x имеет место формула:

  Δ x = v x 2 − v 0 x 2 2 a x {\displaystyle \Delta x={\frac {v_{x}^{2}-v_{0x}^{2}}{2a_{x}}}},

  Криволинейное равноускоренное (равнопеременное) движение также можно рассматривать как одномерное. В этом случае используется обобщённая координата S, часто называемая путём . Эта координата соответствует длине пройденной траектории (длине дуги кривой). Таким образом, формула приобретает вид:

  Δ S = v 2 − v 0 2 2 a τ {\displaystyle \Delta S={\frac {v^{2}-v_{0}^{2}}{2a_{\tau }}}},

  где a τ {\displaystyle a_{\tau }} - тангенциальное ускорение , которое «отвечает» за изменение модуля скорости тела.

  Из вышеприведенных формул можно получить выражения для определения конечной скорости тела, при известных начальной скорости, ускорении и перемещении:

  v x = ± v 0 x 2 + 2 a x Δ x {\displaystyle v_{x}=\pm {\sqrt {v_{0x}^{2}+2a_{x}\Delta x}}}

  В случае криволинейного равноускоренного движения имеем:

  v = ± v 0 2 + 2 a τ Δ S {\displaystyle v=\pm {\sqrt {v_{0}^{2}+2a_{\tau }\Delta S}}}

  Аналогичные соотношения можно записать для выражений:

  v y = ± v 0 y 2 + 2 a y Δ y {\displaystyle v_{y}=\pm {\sqrt {v_{0y}^{2}+2a_{y}\Delta y}}}; v z = ± v 0 z 2 + 2 a z Δ z {\displaystyle v_{z}=\pm {\sqrt {v_{0z}^{2}+2a_{z}\Delta z}}}.

  И найти конечную скорость по теореме Пифагора

  | v → | = v x 2 + v y 2 + v z 2 {\displaystyle |{\vec {v}}|={\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}}}}.

  Теорема о кинетической энергии точки

  Формула перемещения при равноускоренном движении используется при доказательстве теоремы о кинетической энергии . Для этого необходимо перенести ускорение в левую часть и домножить обе части на массу тела:

  m a x Δ x = m v x 2 2 − m v 0 x 2 2 {\displaystyle ma_{x}\Delta x={\frac {mv_{x}^{2}}{2}}-{\frac {mv_{0x}^{2}}{2}}}.

  Записав аналогичные соотношения для координат y и z и просуммировав все три равенства получим соотношение:

  F → ⋅ Δ r → = m v 2 2 − m v 0 2 2 {\displaystyle {\vec {F}}\cdot {\vec {\Delta r}}={\frac {mv^{2}}{2}}-{\frac {mv_{0}^{2}}{2}}}.

  Слева стоит работа постоянной равнодействующей силы F → {\displaystyle {\vec {F}}}, а справа - разность кинетических энергий в конечный и начальный момент движения. Полученная формула представляет собой математическое выражение теоремы о кинетической энергии точки для случая равноускоренного движения .