Уравнение периода колебаний пружинного маятника. Формула частоты колебаний пружинного маятника
Копилка полезных уроков

Уравнение периода колебаний пружинного маятника. Формула частоты колебаний пружинного маятника

Определение

Пружинным маятником

называют систему, которая состоит из упругой пружины, к которой прикреплен груз.

Допустим, что масса груза равна $m$, коэффициент упругости пружины $k$. Масса пружины в таком маятнике обычно не учитывается. Если рассматривать вертикальные движения груза (рис.1), то он движется под действием силы тяжести и силы упругости, если систему вывели из состояния равновесия и предоставили самой себе.

Уравнения колебаний пружинного маятника

Пружинный маятник, совершающий свободные колебания является примером гармонического осциллятора. Допустим, что маятник совершает колебания вдоль оси X. Если колебания малые, выполняется закон Гука, то уравнение движения груза имеет вид:

\[\ddot{x}+{\omega }^2_0x=0\left(1\right),\]

где ${щu}^2_0=\frac{k}{m}$ - циклическая частота колебаний пружинного маятника. Решением уравнения (1) является функция:

где ${\omega }_0=\sqrt{\frac{k}{m}}>0$- циклическая частота колебаний маятника, $A$ - амплитуда колебаний; ${(\omega }_0t+\varphi)$ - фаза колебаний; $\varphi $ и ${\varphi }_1$ - начальные фазы колебаний.

В экспоненциальном виде колебания пружинного маятника можно записать как:

Формулы периода и частоты колебаний пружинного маятника

Если в упругих колебаниях выполняется закон Гука, то период колебаний пружинного маятника вычисляют при помощи формулы:

Так как частота колебаний ($\nu $) - величина обратная к периоду, то:

\[\nu =\frac{1}{T}=\frac{1}{2\pi }\sqrt{\frac{k}{m}}\left(5\right).\]

Формулы амплитуды и начальной фазы пружинного маятника

Зная уравнение колебаний пружинного маятника (1 или 2) и начальные условия можно полностью описать гармонические колебания пружинного маятника. Начальные условия определяют амплитуда ($A$) и начальная фаза колебаний ($\varphi $).

Амплитуду можно найти как:

начальная фаза при этом:

где $v_0$ - скорость груза при $t=0\ c$, когда координата груза равна $x_0$.

Энергия колебаний пружинного маятника

При одномерном движении пружинного маятника между двумя точками его движения существует только один путь, следовательно, выполняется условие потенциальности силы (любую силу можно считать потенциальной, если она зависит только от координат). Так как силы, действующие на пружинный маятник потенциальны, то можно говорить о потенциальной энергии.

Пусть пружинный маятник совершает колебания в горизонтальной плоскости (рис.2). За ноль потенциальной энергии маятника примем положение его равновесия, где поместим начало координат. Силы трения не учитываем. Используя формулу, связывающую потенциальную силу и потенциальную энергию для одномерного случая:

учитывая, что для пружинного маятника $F=-kx$,

тогда потенциальная энергия ($E_p$) пружинного маятника равна:

Закон сохранения энергии для пружинного маятника запишем как:

\[\frac{m{\dot{x}}^2}{2}+\frac{m{{\omega }_0}^2x^2}{2}=const\ \left(10\right),\]

где $\dot{x}=v$ - скорость движения груза; $E_k=\frac{m{\dot{x}}^2}{2}$ - кинетическая энергия маятника.

Из формулы (10) можно сделать следующие выводы:

  • Максимальная кинетическая энергия маятника равна его максимальной потенциальной энергии.
  • Средняя кинетическая энергия по времени осциллятора равна его средней по времени потенциальной энергии.

Примеры задач с решением

Пример 1

Задание.

Маленький шарик, массой $m=0,36$ кг прикреплен к горизонтальной пружине, коэффициент упругости которой равен $k=1600\ \frac{Н}{м}$. Каково было начальное смещение шарика от положения равновесия ($x_0$), если он при колебаниях проходит его со скоростью $v=1\ \frac{м}{с}$?

Решение.

Сделаем рисунок.

По закону сохранения механической энергии (так как считаем, что сил трения нет), запишем:

где $E_{pmax}$ - потенциальная энергия шарика при его максимальном смещении от положения равновесия; $E_{kmax\ }$ - кинетическая энергия шарика, в момент прохождения положения равновесия.

Потенциальная энергия равна:

В соответствии с (1.1) приравняем правые части (1.2) и (1.3), имеем:

\[\frac{mv^2}{2}=\frac{k{x_0}^2}{2}\left(1.4\right).\]

Из (1.4) выразим искомую величину:

Вычислим начальное (максимальное) смещение груза от положения равновесия:

Ответ.

$x_0=1,5$ мм

Пример 2

Задание.

Пружинный маятник совершает колебания по закону: $x=A{\cos \left(\omega t\right),\ \ }\ $где $A$ и $\omega $ - постоянные величины. Когда возвращающая сила в первый раз достигает величины $F_0,$ потенциальная энергия груза равна $E_{p0}$. В какой момент времени это произойдет?

Решение.

Возвращающей силой для пружинного маятника является сила упругости, равная:

Потенциальную энергию колебаний груза найдем как:

В момент времени, который следует найти $F=F_0$; $E_p=E_{p0}$, значит:

\[\frac{E_{p0}}{F_0}=-\frac{A}{2}{\cos \left(\omega t\right)\ }\to t=\frac{1}{\omega }\ arc{\cos \left(-\frac{2E_{p0}}{AF_0}\right)\ }.\]

Ответ.

$t=\frac{1}{\omega }\ arc{\cos \left(-\frac{2E_{p0}}{AF_0}\right)\ }$

Определение 1

Свободные колебания могут совершаться под действием внутренних сил только после выведения из положения равновесия всей системы.

Чтобы колебания совершались согласно гармоническому закону, нужно, чтобы сила, возвращающая тело в положение равновесия, была пропорциональна смещению тела из равновесного положения и направлена в сторону, противоположную смещению.

F (t) = m a (t) = - m ω 2 x (t) .

Соотношение говорит о том, что ω является частотой гармонического колебания. Данное свойство характерно для упругой силы в пределах применимости закона Гука:

F у п р = - k x .

Определение 2

Силы любой природы, которые удовлетворяют условию, называют квазиупругими.

То есть груз с массой m , прикрепляющийся к пружине жесткости k с неподвижным концом, изображенным на рисунке 2 . 2 . 1 , составляют систему, способную совершать гармонические свободные колебания при отсутствии силы трения.

Определение 3

Груз, располагаемый на пружине, называют линейным гармоническим осциллятором.

Рисунок 2 . 2 . 1 . Колебания груза на пружине. Трения нет.

Круговая частота

Нахождение круговой частоты ω 0 производится с помощью применения формулы второго закона Ньютона:

m a = - k x = m ω 0 2 x .

Значит, получаем:

Определение 4

Частоту ω 0 называют собственной частотой колебательной системы.

Определение периода гармонических колебаний груза на пружине Т находится из формулы:

T = 2 π ω 0 = 2 π m k .

Горизонтальное расположение системы пружина-груз, сила тяжести компенсируется силой реакции опоры. При подвешивании груза на пружину направление силы тяжести идет по линии движения груза. Положение равновесия растянутой пружины равняется:

x 0 = m g k , тогда как колебания выполняются около нового равновесного состояния. Формулы собственной частоты ω 0 и периода колебаний Т в вышеуказанных выражениях являются справедливыми.

Определение 5

При имеющейся математической связи между ускорением тела а и координатой х поведение колебательной системы характеризуется строгим описанием: ускорение является второй производной координаты тела х по времени t:

Описание второго закона Ньютона с грузом на пружине запишется как:

m a - m x = - k x , или x ¨ + ω 0 2 x = 0 , где свободная частота ω 0 2 = k m .

Если физические системы зависят от формулы x ¨ + ω 0 2 x = 0 , тогда они в состоянии совершать свободные колебательные гармонические движения с различной амплитудой. Это возможно, так как применяется x = x m cos (ω t + φ 0) .

Определение 6

Уравнение вида x ¨ + ω 0 2 x = 0 получило название уравнения свободных колебаний. Их физические свойства могут определять только собственную частоту колебаний ω 0 или период Т.

Амплитуда x m и начальная фаза φ 0 находят при помощи способа, который вывел их из состояния равновесия начального момента времени.

Пример 1

При наличии смещенного груза из положения равновесия на расстояние ∆ l и моменте времени, равном t = 0 , производится его опускание без начальной скорости. Тогда x m = ∆ l , φ 0 = 0 . Если груз находился в положении равновесия, то при толчке передается начальная скорость ± υ 0 , отсюда x m = m k υ 0 , φ 0 = ± π 2 .

Амплитуда x m с начальной фазой φ 0 определяются наличием начальных условий.

Рисунок 2 . 2 . 2 . Модель свободных колебаний груза на пружине.

Механические колебательные системы отличаются наличием сил упругих деформаций в каждой из них. Рисунок 2 . 2 . 2 показывает угловой аналог гармонического осциллятора, совершающий крутильные колебания. Диск располагается горизонтально и висит на упругой нити, закрепленной в его центре масс. Если его повернуть на угол θ , тогда возникает момент силы упругой деформации кручения M у п р:

M у п р = - x θ .

Данное выражение не соответствует закону Гука для деформации кручения. Величина x аналогична k жесткости пружины. Запись второго закона Ньютона для вращательного движения диска принимает вид

I ε = M у п р = - x θ или I θ ¨ = - x θ , где моментом инерции обозначается I = I C , а ε – угловое ускорение.

Аналогично с формулой пружинного маятника:

ω 0 = x I , T = 2 π I x .

Применение крутильного маятника замечено в механических часах. Он получил название балансира, в котором создание момента упругих сил производится при помощи спиралевидной пружины.

Рисунок 2 . 2 . 3 . Крутильный маятник.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Работа большинства механизмов основана на простейших законах физики и математики. Довольно большое распространение получило понятие пружинного маятника. Подобный механизм получил весьма широкое распространение, так как пружина обеспечивает требуемую функциональность, может быть элементом автоматических устройств. Рассмотрим подробнее подобное устройство, принцип действия и многие другие моменты подробнее.

Определения пружинного маятника

Как ранее было отмечено, пружинный маятник получил весьма широкое распространение. Среди особенностей можно отметить следующее:

  1. Устройство представлено сочетанием груза и пружины, масса которой может не учитываться. В качестве груза может выступать самый различный объект. При этом на него может оказываться воздействие со стороны внешней силы. Распространенным примером можно назвать создание предохранительного клапана, который устанавливается в системе трубопровода. Крепление груза к пружине проводится самым различным образом. При этом используется исключительно классический винтовой вариант исполнения, который получил наиболее широкое распространение. Основные свойства во многом зависят от типа применяемого материала при изготовлении, диаметра витка, правильности центровки и многих других моментов. Крайние витки часто изготавливаются таким образом, чтобы могли воспринимать большую нагрузку при эксплуатации.
  2. До начала деформации полная механическая энергия отсутствует. При этом на тело не влияет сила упругости. Каждая пружина имеет исходное положение, которое она сохраняет на протяжении длительного периода. Однако, за счет определенной жесткости происходит фиксация тела в начальном положении. Имеет значение то, каким образом прикладывается усилие. Примером назовем то, что она должна быть направлена вдоль оси пружины, так как в противном случае есть вероятность появления деформации и многих других проблем. У каждой пружины есть свои определенный придел сжатия и растяжения. При этом максимальное сжатие представлено отсутствием зазора между отдельными витками, при растяжении есть момент, когда происходит невозвратная деформация изделия. При слишком сильном удлинении проволоки происходит изменение основных свойств, после чего изделие не возвращается в свое первоначальное положение.
  3. В рассматриваемом случае колебания совершаются за счет действия силы упругости. Она характеризуется довольно большим количество особенностей, которые должны учитываться. Воздействие упругости достигается за счет определенного расположения витков и типа применяемого материала при изготовлении. При этом сила упругости может действовать в обе стороны. Чаще всего происходит сжатие, но также может проводится растяжение – все зависит от особенностей конкретного случая.
  4. Скорость перемещения тела может варьировать в достаточно большом диапазоне, все зависит от того, какое оказывается воздействие. К примеру, пружинный маятник может перемещать подвешенный груз в горизонтальной и вертикальной плоскости. Действие направленного усилия во многом зависит от вертикальной или горизонтальной установки.

В целом можно сказать, что пружинный маятник определение довольно обобщенное. При этом скорость перемещения объекта зависит от различных параметров, к примеру, величины приложенного усилия и других моментов. Перед непосредственным проведением расчетов проводится создание схемы:

  1. Указывается опора, к которой крепится пружина. Зачастую для ее отображения рисуется линия с обратной штриховкой.
  2. Схематически отображается пружина. Она часта представлена волнистой линией. При схематическом отображении не имеет значение длина и диаметральный показатель.
  3. Также изображается тело. Оно не должно соответствовать размерам, однако имеет значение место непосредственного крепления.

Схема требуется для схематического отображения всех сил, которые оказывают влияние на устройство. Только в этом случае можно учесть все, что влияет на скорость перемещения, инерцию и многие другие моменты.

Пружинные маятники применяются не только при расчетах ил решении различных задач, но также и на практике. Однако, не все свойства подобного механизма применимы.

Примером можно назвать случай, когда колебательные движения не требуются:

  1. Создание запорных элементов.
  2. Пружинные механизмы, связанные с транспортировкой различных материалов и объектов.

Проводимые расчеты пружинного маятника позволяют подобрать наиболее подходящий вес тела, а также тип пружины. Она характеризуется следующими особенностями:

  1. Диаметр витков. Он может быть самым различным. От показателя диаметра во многом зависит то, сколько требуется материала для производства. Диаметр витков также определяет то, какое усилие должно прикладываться для полного сжатия или частичного растяжения. Однако, увеличение размеров может создать существенные трудности с установкой изделия.
  2. Диаметр проволоки. Еще одним важным параметром можно назвать диаметральный размер проволоки. Он может варьировать в широком диапазоне, зависит прочность и степень упругости.
  3. Длина изделия. Этот показатель определяет то, какое усилие требуется для полного сжатия, а также какой упругостью может обладать изделие.
  4. Тип применяемого материала также определяет основные свойства. Чаще всего пружина изготавливается при применении специального сплава, который обладает соответствующие свойствами.

При математических расчетах многие моменты не учитываются. Усилие упругости и многие другие показатели выявляются путем расчета.

Виды пружинного маятника

Выделяют несколько различных видов пружинного маятника. Стоит учитывать, что классификация может проводится по типу устанавливаемой пружины. Среди особенностей отметим:

  1. Довольно большое распространение получили вертикальные колебания, так как в этом случае на груз не оказывается сила трения и другое воздействие. При вертикальном расположении груза существенно увеличивается степень воздействия силы тяжести. Распространен этот вариант исполнения при проведении самых различных расчетов. За счет силы тяжести есть вероятность того, что тело в исходной точке будет совершать большое количество инерционных движений. Этому также способствует упругость и инерция движения тела в конце хода.
  2. Также применяется горизонтальный пружинный маятник. В этом случае груз находится на опорной поверхности и на момент перемещения также возникает трение. При горизонтальном расположении сила тяжести работает несколько иначе. Горизонтальное расположение тела получило широкое распространение в различных задачах.

Рассчитывается движение пружинного маятника можно при использовании достаточно большого количества различных формул, который должны учитывать воздействие всех сил. В большинстве случаев устанавливается классическая пружина. Среди особенностей отметим следующее:

  1. Классическая витая пружина сжатия сегодня получила весьма широкое распространение. В этом случае между витками есть пространство, которое называется шагом. Пружина сжатия может и растягиваться, но зачастую она для этого не устанавливается. Отличительной особенностью можно назвать то, что последние витки выполнены в виде плоскости, за счет чего обеспечивается равномерное распределения усилия.
  2. Может устанавливаться вариант исполнения для растяжения. Он рассчитан на установку в случае, когда приложенное усилие становится причиной увеличения длины. Для крепления проводится размещение крючков.

В результате этого возникает колебание, которое может длиться в течение длительного периода. Приведенная выше формула позволяет провести расчет с учетом всех моментов.

Формулы периода и частоты колебаний пружинного маятника

При проектировании и вычислении основных показателей также уделяется довольно много внимания частоте и периоду колебания. Косинус – периодическая функция, в которой применяется значение, неизменяемое через определенный промежуток времени. Именно этот показатель называют период колебаний пружинного маятника. Для обозначения этого показателя применяется буква Т, также часто используется понятие, характеризующее значение, обратное периоду колебания (v). В большинстве случаев при расчетах применяется формула T=1/v.

Период колебаний вычисляется по несколько усложненной формуле. Она следующая: T=2п√m/k. Для определения частоты колебания используется формула: v=1/2п√k/m.

Рассматриваемая циклическая частота колебаний пружинного маятника зависит от следующих моментов:

  1. Масса груза, который прикреплен к пружине. Этот показатель считается наиболее важным, так как оказывает влияние на самые различные параметры. От массы зависит сила инерции, скорость и многие другие показатели. Кроме этого, масса груза – величина, с измерением которой не возникает проблем из-за наличия специального измерительного оборудования.
  2. Коэффициент упругости. Для каждой пружины этот показатель существенно отличается. Коэффициент упругости указывается для определения основных параметров пружины. Зависит этот параметр от количества витков, длины изделия, расстояние между витками, их диаметра и многого другого. Определяется он самым различным образом, зачастую при применении специального оборудования.

Не стоит забывать о том, что при сильном растяжении пружины закон Гука прекращает действовать. При этом период пружинного колебания начинает зависеть от амплитуды.

Для измерения периода применяется всемирная единица времени, в большинстве случаев секунды. В большинстве случаев амплитуда колебаний вычисляется при решении самых различных задач. Для упрощения процесса проводится построение упрощенной схемы, на которой отображаются основные силы.

Формулы амплитуды и начальной фазы пружинного маятника

Определившись с особенностями проходимых процессов и зная уравнение колебаний пружинного маятника, а также начальные значения можно провести расчет амплитуды и начальной фазы пружинного маятника. Для определения начальной фазы применяется значение f, амплитуда обозначается символом A.

Для определения амплитуды может использоваться формула: А=√x 2 +v 2 /w 2 . Начальная фаза высчитывается по формуле: tgf=-v/xw.

Применяя эти формулы можно провести определение основных параметров, которые применяются при расчетах.

Энергия колебаний пружинного маятника

Рассматривая колебание груза на пружине нужно учитывать тот момент, что при движение маятника может описываться двумя точками, то есть оно носит прямолинейный характер. Этот момент определяет выполнение условий, касающихся рассматриваемой силы. Можно сказать, что полная энергия потенциальная.

Провести расчет энергии колебаний пружинного маятника можно при учете всех особенностей. Основными моментами назовем следующее:

  1. Колебания могут проходить в горизонтальной и вертикальной плоскости.
  2. Ноль потенциальной энергии выбирается в качестве положения равновесия. Именно в этом месте устанавливается начало координат. Как правило, в этом положении пружина сохраняет свою форму при условии отсутствия деформирующей силы.
  3. В рассматриваемом случае рассчитываемая энергия пружинного маятника не учитывает силу трения. При вертикальном расположении груза сила трения несущественна, при горизонтальном тело находится на поверхности и при движении может возникнуть трение.
  4. Для расчета энергии колебания применяется следующая формула: E=-dF/dx.

Приведенная выше информация указывают на то, что закон сохранения энергии выглядит следующим образом: mx 2 /2+mw 2 x 2 /2=const. Применяемая формула говорит о следующем:

Провести определение энергии колебания пружинного маятника можно при решении самых различных задач.

Свободные колебания пружинного маятника

Рассматривая то, чем вызваны свободные колебания пружинного маятника следует уделить внимание действию внутренних сил. Они начинают формироваться практически сразу после того, как телу было передано движение. Особенности гармонических колебаний заключаются в нижеприведенных моментах:

  1. Могут также возникать и другие типы сил воздействующего характера, который удовлетворяют все нормы закона, называются квазиупругими.
  2. Основными причинами действия закона могут быть внутренние силы, которые формируются непосредственно на момент изменения положения тела в пространстве. При этом груз обладает определенной массой, усилие создается за счет фиксации одного конца за неподвижный объект с достаточной прочностью, второго за сам груз. При условии отсутствия трения тело может совершать колебательные движения. В этом случае закрепленный груз называется линейным.

Не стоит забывать о том, что существует просто огромное количество различных видов систем, в которых осуществляется движение колебательного характера. В них также возникает упругая деформация, которая становится причиной применения для выполнения какой-либо работы.

Федеральное агентство железнодорожного транспорта

Уральский государственный университет путей сообщения

Филиал УрГУПС в г. Нижний Тагил

Кафедра «Общепрофессиональные дисциплины»

Отчет по лабораторной работе №5

«Масса на пружине»

Преподаватель:

Нижний Тагил

  1. Колебания груза на пружине

Колебания массы на пружине при отсутствии вынуждающей силы называются свободными. Свободные колебания при отсутствии трения являются гармоническими.

Колебательное движение груза на пружине происходит под действием упругой силы по вертикальному направлению.

По второму закону Ньютона

где – масса колеблющегося тела,– коэффициент упругости (жёсткость) пружины. Пружинный маятник совершает гармонические колебания по законус циклической частотойи периодом. Формула справедлива для упругих колебаний в пределах, в которых выполняется закон Гука, т.е. масса пружины мала по сравнению с массой тела. Потенциальная энергия пружинного маятника равна.

Гармоническими колебаниями называются такие колебания, в которых колеблющаяся величина изменяется по закону синуса или косинуса. Уравнение гармонического колебания

где –коэффициент упругости (жёсткость), –масса колеблющейся системы, –смещение колеблющейся системы, –сила упругости (возвращающая сила). Решение дифференциального уравнения имеет вид

где – колеблющаяся величина(смещение, скорость, ускорение, сила, импульс и др.), –время, –амплитуда колебания, равная максимальному отклонению колеблющейся величины от положения равновесия, –циклическая (круговая) частота. Циклическая частота численно равна числу полных колебаний, совершаемых за времяс, т.е.,–частота колебаний равна числу полных колебаний, совершаемых за единицу времени.Период колебаний – время, за которое совершается одно полное колебание.Фаза колебания определяет значениев данный момент времени, или какую часть от амплитудысоставляет смещениев данный момент времени.Начальная фаза колебания определяет момент начала отсчёта времени, т.е. при.

Характеристики гармонического свободного колебания материальной точки (массы на пружине), совершаемого по закону , при

Здесь индексом 0 обозначены (,,,,,,) – максимальные (амплитудные) значения величин.

Скорость м.т. , где.

Ускорение м.т. ;.

Возвращающая сила, действующая на м. т. ;.

Импульс м.т. ;.

Кинетическая энергия м.т. ;.

Среднее значение кинетической энергии м.т. за один период .

Потенциальная энергия м.т. ;.

Среднее значение потенциальной энергии м.т. .

Колебание м.т. совершается по закону, при,.

Скорость м.т. , где.

Ускорение м.т. ;.

Возвращающая сила, действующая на м.т. ;.

Импульс м.т. ;.

Кинетическая энергия м.т. ;.

Потенциальная энергия м.т. ;. По закону сохранения механической энергии максимальные значения, средние значения за период. Полная энергия колеблющейся м. т. равна. Так как,.

Согласно выражениям (2) квадрат у синуса и косинуса в кинетической и потенциальной энергии показывает, что эти величины со временем изменяются с удвоенной частотой .

Ускорение, скорость, смещение м. т. находятся в последовательности . Ускорение опережает скорость по фазе на, а смещение – на. Скорость опережает смещение по фазе на. Вторая производная от смещения по времени пропорциональна смещению и имеет обратный ему знак. Сила, действующая на колеблющуюся м. т.,. Она пропорциональна смещению м. т. из положения равновесия и направлена к положению равновесия.

Затухающими колебаниями называются колебания, энергия которых уменьшается с течением времени. Энергия расходуется на работу против сил трения. Затухающие колебания совершаются при одновременном действии сил: упругой силы и силы сопротивления среды. Уравнение затухающего колебания при небольших затуханиях вытекает из второго закона Ньютона , т.е.

Или , или, (3)

где – масса колеблющегося тела,=- его ускорение,F упр = - - упругая (возвращающая) сила,–сила сопротивления среды, –коэффициент сопротивления среды, =– скорость движения тела в среде. Решение дифференциального уравнения (3) даёт зависимость смещенияот времени

где –коэффициент затухания, – циклическая частота затухающих колебаний системы,– собственная циклическая частота свободных колебаний системы. Отношение двух последующих амплитуд одного и того же знакаи, отстоящих друг от друга на период, называетсядекрементом затухания . Натуральный логарифм от отношения двух последующих амплитуд, отстоящих друг от друга на период, называетсялогарифмическим декрементом затухания .Время релаксации равно промежутку времени , в течение которого амплитуда затухающих колебаний уменьшается враз. Логарифмический декремент затухания, где=/T – число колебаний, совершаемых за время релаксации, т.е. за время уменьшения амплитуды в раз.Добротностью колебательной системы называется число, равное умноженному на 2π отношению полной энергии к величине потери энергии за период за счёт её диссипации. Добротностьпропорциональна числу колебаний, совершаемых системой за время релаксации.

Пружинный маятник представляет собой материальную точку массой , прикрепленную к абсолютно упругой невесомой пружине с жесткостью . Различают два наиболее простых случая: горизонтальный (рис.15,а) и вертикальный (рис.15, б) маятники.

а)Горизонтальный маятник(рис. 15,а). При смещении груза
из положения равновесия на величину на него действует в горизонтальном направлениивозвращающая упругая сила
(закон Гука).

Предполагается, что горизонтальная опора, по которой скользит груз
при своих колебаниях, абсолютно гладкая (трения нет).

б)Вертикальный маятник (рис.15, б). Положение равновесия в этом случае характеризуется условием:

где - величина упругой силы, действующей на груз
при статическом растяжении пружины на под действием силы тяжести груза
.

а

Рис.15. Пружинный маятник: а – горизонтальный и б – вертикальный

Если растянуть пружину и отпустить груз, то он начнет совершать вертикальные колебания. Если смещение в какой-то момент времени будет
, то сила упругости запишется теперь как
.

В обоих рассмотренных случаях пружинный маятник совершает гармонические колебания с периодом

(27)

и циклической частотой

. (28)

На примере рассмотрения пружинного маятника можно сделать вывод о том, что гармонические колебания – это движение, вызванное силой, возрастающей пропорционально смещению . Таким образом, если возвращающая сила по виду напоминает закон Гука
(она получила названиеквазиупругой силы ), то система должна совершать гармонические колебания. В момент прохождения положения равновесия на тело не действует возвращающая сила, однако, тело по инерции проскакивает положение равновесия и возвращающая сила меняет направление на противоположное.

Математический маятник

Рис.16. Математический маятник

Математический маятник представляет собой идеализированную систему в виде материальной точки, подвешенной на невесомой нерастяжимой нити длиной , которая совершает малые колебания под действием силы тяжести (рис. 16).

Колебания такого маятника при малых углах отклонения
(не превышающих 5º) можно считать гармоническими, и циклическая частота математического маятника:

, (29)

а период:

. (30)

2.3. Энергия тела при гармонических колебаниях

Энергия, сообщенная колебательной системе при начальном толчке, будет периодически преобразовываться: потенциальная энергия деформированной пружины будет переходить в кинетическую энергию движущегося груза и обратно.

Пусть пружинный маятник совершает гармонические колебания с начальной фазой
, т.е.
(рис.17).

Рис.17. Закон сохранения механической энергии

при колебаниях пружинного маятника

При максимальном отклонении груза от положения равновесия полная механическая энергия маятника (энергия деформированной пружины с жесткостью ) равна
. При прохождении положения равновесия (
) потенциальная энергия пружины станет равной нулю, и полная механическая энергия колебательной системы определится как
.

На рис.18 представлены графики зависимостей кинетической, потенциальной и полной энергии в случаях, когда гармонические колебания описываются тригонометрическими функциями синуса (пунктирная линия) или косинуса (сплошная линия).

Рис.18. Графики временной зависимости кинетической

и потенциальной энергии при гармонических колебаниях

Из графиков (рис.18) следует, что частота изменения кинетической и потенциальной энергии в два раза выше собственной частоты гармонических колебаний.

Похожие публикации

ДАЛЬШЕ